МАТАН! HELP!!!!

snake18 · 03.06.2006 21:44 МАТАН! HELP!!!!

Помогите плз с примерами по диф уравнениям. :O: В шоке!

1. Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными.
(1+e^x)*y'=y*e^x
2. Найти решение задачи Коши для однородного уравнения 1-го порядка.
xy'=(3y^2+14x^2y)/(2y^2+7x^2), y(-1)=√2
3. Найти решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.
y'+y*cosx=sinx*cosx, y(0)=0
4. Найти общее решение уравнения в полных дифференциалах.
(x*y^2+x/y^2)dx+(x^2*y-x^2/y^3)dy=0
5. Найти общее решение неполного уравнения 2-го порядка.
y''*tgx= y'+1
6. Найти решение задачи Коши неполного уравнения 2-го порядка.
y''*y^3+64=0, y(0)=2√2, y'(0)=2
7. С помощью характеристического уравнения найти решение задачи Коши для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.
y'''- y''=0, y(0)=1, y'(0)=3, y''(0)=2
8. Методом вариации произвольных постоянных найти решение задачи Коши для неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.
y''+16*y=16/cos4x, y(0)=3, y'(0)=0
9. Методом неопределённых коэффициентов найти решение задачи Коши для неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.
y''-4*y'+4*y=2*x*e^x, y(0)=5, y'(0)=8
10. Любым способом найти общее решение системы двух дифференциальных уравнений.
x'=2x+y
y'=3x+4y

Заранее благодарен!

Cato · 04.06.2006 13:34

1. Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными: (1+ex)*y'=y*ex
Обязательно проверяйте решение!!!
(1+exp(x))*y'=y*exp(x)
вспоминаем, что y'=dy/dx:
(1+exp(x))*(dy/dx)=y*exp(x)
переносим dx направо:
(1+exp(x))*dy=y*exp(x)*dx
делим на y и на (1+exp(x)), чтобы разделить наконец переменные:
dy/y=(exp(x)/(1+exp(x)))*dx
берем интегралы от правой и левой частей:
ln|y|=ln|1+exp(x)|+ln|C|, С - произвольная вещественная константа
преобразовываем выражение:
ln|y|=ln|C(1+exp(x))|
получаем:
y=C(1+exp(x)) и радуемся :)

Добавлено спустя 36 минут 27 секунд:

3. Найти решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения 1-го порядка: y'+y*cosx=sinx*cosx, y(0)=0
Обязательно проверяйте решение!!!

y'+y*cosx=sinx*cosx
решаем соответствующее однородное уравнение:
y'+y*cosx=0
переносим слагаемое y*cosx направо:
y'=-y*cosx
вспоминаем, что y'=dy/dx:
dy/dx=-y*cosx
разделяем переменные:
dy/y=-cosx*dx
интегрируем обе части равенства:
ln|y|=-sinx+ln|C|, C - произвольная вещественная постоянная
переносим ln|C| налево:
ln|y|-ln|C|=-sinx
преобразуем левую часть:
ln|y/C|=-sinx
потенцируем выражение:
y/C=exp(-sinx)
получаем решение соответствующего однородного уравнения:
y=C*exp(-sinx)
теперь решаем исходное уравнение методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной); полагаем, что С=С(x):
y=C(x)*exp(-sinx)
найдем производную y':
y'=C'(x)*exp(-sinx)+C(x)*exp(-sinx)*(-cosx)=C'(x)*exp(-sinx)-C(x)*exp(-sinx)*cosx
подставим полученные выражения для y' и y в исходное уравнение:
C'(x)*exp(-sinx)-C(x)*exp(-sinx)*cosx+C(x)*exp(-sinx)*cosx=sinx*cosx
слагаемые в левой части взаимно уничтожаются:
C'(x)*exp(-sinx)=sinx*cosx
разделяем переменные в полученном уравнении:
dC=sinx*cosx*exp(sinx)*dx
берем интеграл от обеих частей равенства:
SdС=Ssinx*cosx*exp(sinx)*dx
вносим в правой части cosx под знак дифференциала:
SdC=St*exp(t)*dt, где t=sinx
берем интеграл справа интегрированием по частям:
SdC=t*exp(t)-Sexp(t)*dt
окончательное выражение для C(x):
С(x)=t*exp(t)-exp(t)+D=exp(t)*(t-1)+D=exp(sinx)*(sinx-1)+D, D - произвольная вещественная постоянная
итоговое решение для y:
y=C(x)*exp(-sinx)=(exp(sinx)*(sinx-1)+D)*exp(-sinx)=(sinx-1)+D*exp(-sinx)
решаем задачу Коши для условия y(0)=0. подставляем в полученный ответ y=0 и x=0:
0=sin0-1+D*exp(-sin0)
получаем, что:
0=-1+D
тогда окончательно для D:
D=1
и частное решение:
y=(sinx-1)+exp(-sinx)
Неужто все, товарищи? :)

5. Найти общее решение неполного уравнения 2-го порядка: y''*tgx= y'+1
Обязательно проверяйте решение!!!

т.к. в уравнении не содержится y в чистом виде, а только ее производные, то можем рассмотреть уравнение:
f'*tgx=f+1, где f=y'(x)
поделим уравнение на tgx:
f'=ctgx*f+ctgx
перенесем слагаемое ctgx*f в левую часть равенства:
f'-ctgx*f=ctgx
будем решать соответствующее однородное уравнение:
f'-ctgx*f=0
разделим переменные:
df/f=ctgx*dx
проинтегрируем полученное равенство:
ln|f|=ln|sinx|+ln|C|, C - произвольная вещественная постоянная
потенцированием найдем:
f=C*sinx
решаем неоднородное уравнение 1-го порядка методом вариации произвольной постоянной. положим:
C=C(x), тогда f=C(x)*sinx
вычислим f':
f'=C'(x)*sinx+C(x)*cosx
подставим f и f' в уравнение:
C'(x)*sinx+C(x)*cosx-ctgx*C(x)*sinx=ctgx
после преобразования и уничтожения подобных слагаемых имеем:
C'(x)*sinx=ctgx
разделим переменные:
dC=cosx/(sinx*sinx)
проинтегрируем обе части:
SdC=Sd(sinx)/(sinx*sinx)
получим:
C=-1/sinx+D, D - произвольная вещественная постоянная
итоговое выражение для f:
f=(-1/sinx+D)*sinx=-1+D*sinx=D*sinx-1
вспомним, что ищем y, когда y'=f:
y'=D*sinx+1
преобразуем равенство:
dy=(D*sinx-1)*dx
проинтегрируем обе части:
y=-D*cosx-x+E
кричим "Ура!" и кидаем чепчики в воздух :)

snake18 · 04.06.2006 15:34

ОГРОМНОЕ ЧЕЛОВЕЧЕСКОЕ СПАСИБИЩЕ за помощь!!!! Смайлик

snake18 · 05.06.2006 15:50

Народ! Кто может помогите пжалста с остальными. :Bravo:

	Список форумов FREESTUDENTS -> Помоги студенту!	Часовой пояс: GMT + 3
Страница 1 из 1